Трейдинг и теория вероятностей: как работает преимущество и почему важна дисперсия

Трейдинг — это всегда игра вероятностей. Чтобы быть успешным, нужно мыслить в терминах математического ожидания (среднего результата) и дисперсии (разброса результатов). Рассмотрим это на простом примере.

Преимущество на примере игры

Допустим, есть игрок, который играет в условную игру, аналогичную блэкджеку, где у него есть небольшое преимущество — скажем, он выигрывает 51% партий, а проигрывает 49%, и при этом ставка и потенциальный выигрыш одинаковы (соотношение риск/прибыль 1:1). Это похоже на трейдера, у которого стратегия чуть-чуть в плюсе.

Теперь пусть этот игрок делает ставки по 200 долларов. Тогда его математическое ожидание на одну ставку составляет:

(0.51 × 200) + (0.49 × –200) = 2 доллара прибыли в среднем за каждую ставку.

То есть его преимущество — $2 на каждую сделку. На первый взгляд, всё просто: сыграв 1000 партий, он должен заработать 2000 долларов. Но на практике всё немного иначе, потому что вступает в игру дисперсия.

Что такое дисперсия?

Дисперсия — это показатель того, насколько реальный результат может отличаться от среднего (ожидаемого). Даже если математически ожидание положительное, фактический результат может быть сильно ниже или выше — особенно на малом количестве сделок.

Для простоты предположим, что дисперсия выигрыша на одну ставку составляет 40000 (долларов в квадрате). Тогда среднеквадратичное отклонение (корень из дисперсии) на одну ставку — это $200. Для 1000 ставок дисперсия будет 1000 × 40000 = 40,000,000, а стандартное отклонение — √40,000,000 = примерно 6325 долларов.

Это означает, что при 1000 ставках игрок может ожидать заработать 2000 долларов, но результат может отклоняться вверх или вниз примерно на 6325 долларов.

Другими словами, итоговая сумма может быть как +8300 долларов, так и минус 4300 — и это всё ещё укладывается в рамки математического ожидания и дисперсии. Такой разлет — это не ошибка и не признак того, что стратегия плохая, это просто случайность.

Как это связано с банкроллом и риском?

Теперь предположим, что у игрока банк — 6500 долларов, и он продолжает ставить по 200 долларов. Он рискует примерно 3% от банка на каждую ставку. Несмотря на то, что у него есть положительное математическое ожидание, есть реальный риск потерять весь банк до того, как преимущество проявится.

Согласно моделям расчёта, при таком соотношении ставки и банкролла, вероятность потерять весь банк до того, как сыграно достаточно ставок, может достигать 40–50%. Это объясняется тем, что дисперсия «съедает» преимущество на короткой дистанции.

Но если бы его банк был 20 000 долларов, при той же ставке в 200 долларов (теперь это всего 1% от банка), то вероятность полного проигрыша резко бы упала — до 0.3–0.5%. Это потому, что при большом банкролле влияние дисперсии ослабевает.

Моделируем ожидаемую прибыль и разброс из-за дисперсии на 1000 ставок:

• Синим показано математическое ожидание (линейный рост).

• Серым — возможный интервал отклонений из-за дисперсии (±1 стандартное отклонение).

• Красным — один возможный случайный сценарий (симулированный путь доходности).

Вывод

Главный урок: даже при положительном ожидании выигрыша, краткосрочные убытки — это норма, а не исключение. Чтобы выжить и дойти до момента, когда математическое ожидание начнёт работать на вас, нужен достаточно большой банк и строгое управление ставками. Даже разница между ставкой 3% от банка и 1% может уменьшить риск потери капитала в сотни раз.

Таким образом, каждый трейдер должен не просто искать «рабочую стратегию», но и учитывать, насколько эта стратегия подвержена дисперсии, и сколько капитала нужно, чтобы она начала приносить стабильный доход.

*** Банкролл — это сумма денег, отложенная специально для торговли, ставок или инвестиций, которую человек готов потерять без ущерба для своего финансового положения. Он служит основой для управления рисками: размер каждой сделки или ставки определяется как процент от банкролла, чтобы избежать полного обнуления капитала из-за серии неудач.